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【亚博yabo888vip网页版】简朴微积分,学校未教过的超浅易积分入门技巧

本文摘要:本文作者:神永正博初识积分的兴趣现实世界中存在的物质,并非都是学校中学习的那些规则的形状。相反,那些规则的形状可以说只是破例或理想化的情况。 所以,对人类而言,丈量现实情况中种种庞大图形巨细的技术很是须要。日本小学的家政课会教学乌冬面、土豆块2等浅易摒挡的烹饪方法。如果掌握了这些基础烹饪方法的话,就能够烹制出更多庞大的菜品。例如,乌冬面的烹饪方法可以运用到面包、比萨或者意大利面中,从土豆块中学到的方法可以拓展到土豆沙拉或者油炸饼中。

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本文作者:神永正博初识积分的兴趣现实世界中存在的物质,并非都是学校中学习的那些规则的形状。相反,那些规则的形状可以说只是破例或理想化的情况。

所以,对人类而言,丈量现实情况中种种庞大图形巨细的技术很是须要。日本小学的家政课会教学乌冬面、土豆块2等浅易摒挡的烹饪方法。如果掌握了这些基础烹饪方法的话,就能够烹制出更多庞大的菜品。例如,乌冬面的烹饪方法可以运用到面包、比萨或者意大利面中,从土豆块中学到的方法可以拓展到土豆沙拉或者油炸饼中。

如果把在小学初中学的长方形、圆形的知识比作乌冬面、土豆块,那么微积分就相当于面包、土豆沙拉等应用性摒挡。多亏有了积分法,人类才气够盘算种种图形的面积和体积。使用积分,无论是何等奇怪的形状,只要下功夫就能够盘算出效果,这真是庞大的进步。将思考应用于实际,用自己的气力去推导面积、体积,这才是积分的兴趣,也是学习积分的真正意义。

所有图形都与长方形相通积分的要领①:以长方形为基础来思考。图形的种类纷繁多样,其中面积盘算最为简朴的就是“长方形”了。

说到这里,大家是不是想起了小学时初学面积盘算的情景?在图形面积盘算中,三角形、平行四边形、梯形、圆形等图形都是放到长方形之后学习。长方形的面积仅用“长×宽”就可以盘算,可以说是最简朴、朴素的图形。

顺便提一下,在数学世界中,正方形被看作是“一种特殊的长方形”。掌握长方形面积的盘算方法后,就可以将其应用到三角形的面积盘算中。

反过来说,如果不知道长方形面积的盘算方法,也就无法盘算三角形的面积。这是因为,三角形的面积可以看作是“以三角形的一条底边为边长、该边上的高为另一边的长方形面积的一半”。凭据图2可知,三角形的面积正好是对应长方形面积的一半,也就是说“三角形的面积=底×高÷2”。

那平行四边形是什么情况呢?平行四边形可以看作是两个以平行四边形的边为底边的三角形的组合。梯形的情况又如何呢?梯形可以看作平行四边形的一半。如图4所示,两个相同的梯形并列组合形成了平行四边形。因此,梯形的面积也是以长方形为基础盘算的,为“(上底+下底)×高÷2”。

从三角形到平行四边形,再到梯形,虽然这三个图形看上去没什么直接关联,但它们的面积公式都是以长方形面积为基础推导出来的。近似的方法积分的要领②:将图形看作小长方形的组合。在小学算术课上,大家有没有做过下面这样的事情呢?如图5所示,用圆规在方格纸上画一个圆,然后数出圆中方格的个数。

之后,再画几个巨细差别的圆,并数出这些圆中方格的个数。这项作业实际上与圆的面积公式相关。

圆的面积公式是“半径×半径×3.14”,其中的3.14是圆周率的近似值,而“实验数方格的个数”就是一种解说圆周率推导的方法。在这里,我们来重新回首一下这种方法。先来数一数图6中,半径为2 cm的圆中有几多个方格3(方格的边长为1 mm)。

虽然这种方法有些不准确,可是能让小学生更容易明白。图6圆中的方格共有1189个,用面积表现的话为11.89 cm2。圆的面积公式是“半径×半径×圆周率”。

在方格实验中,我们的目的是求圆周率,所以可以把这个公式变形,获得“圆周率=面积÷(半径×半径)”。在图6的例子中,圆的半径为2,所以用面积除以2的2次方4,得出圆周率为2.972 5。

与3.14相比,这个效果太小了。虽然有些遗憾,但实验就是这样的。即便如此,我们也会明确一件事情,即“圆周率,也就是π,大略来说是靠近3的数”。

再细分方格或者把圆变大的话,圆内方格面积的和,就会逐渐靠近圆面积公式“半径×半径×3.14”,也就是说,圆周率会逐渐靠近3.14。像这样,把圆的面积替换成方格的数量,逐渐求得靠近待求值的方法叫作“近似”。我在小学时也做过这个实验,数十年后的今天,我仍然清晰记得努力数完方格得出谜底后,心田中洋溢的满足感。顺便说一下,或许有人会发生以下疑问。

博士的回覆是老师的常用手段,可是稍微有些乱来的身分。因为这种回覆还会遗留下面的疑问。“不在意这些漏洞”详细是什么意思?事实上,不管是在意还是不在意,漏洞总是会存在的,不是吗?这个疑问看上去似乎很无聊,但在高等数学中却是一个很有意思的问题。

从结论上来讲,为相识决上述疑问,我们有须要使用“夹逼定理”(双方夹定理),从圆的内部和外部都取近似来研究图形。即先盘算出“圆内部的方格数”对应的圆周率,然后再用同样的方法,盘算出“包罗圆界限的方格数”(内部方格数加包罗圆界限的方格数)对应的圆周率。这样一来,我们可以获得下面的结论:圆内部方格数对应的圆周率 < 圆实际的圆周率 < 包罗圆界限的方格数对应的圆周率如果将方格不停替换为更小的方格,“圆内部方格数对应的圆周率”和“包罗圆界限的方格数对应的圆周率”,二者的数值会逐步靠近,都靠近圆实际的圆周率,这就是“夹逼定理”。

在微积分中,不拘小节的精神同样重要。图7是小方格组成的与圆近似的图形。左边是大方格,右边是小方格。

通过这两个图或许可以明确“把粗拙的图形精致化,就会靠近实际图形(圆)”。精度很是高的锯齿状图形,实际上很难在视觉上与平滑图形区分出来。电视、电脑的液晶显示器,都是使用这个原理来显示画面的。

液晶显示器显示的画面实际上是锯齿状的。可是显示器中锯齿的精致度很是高,所以我们眼中看到的就是平滑的线了。我们也可以这样说,圆形实际上是由无数精致小方格组成的锯齿状图形,即圆形是锯齿状图形的“极限”。

像这样,“近似”在数学中是极其好用的方法。如果执着于完美再现平滑的线,那么就不会泛起液晶显示器吧。

多亏了非完美主义的近似方法,才降生了划时代的技术。和变为了积分盘算圆的面积时,小学中接纳的方法是用“正方形”来划分圆的内部空间。这样做的原因实际上很简朴,就是因为方格纸的方格是正方形。

求圆的面积,要领是精致地划分圆。也就是说,划分的形状应该不限于正方形。

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因此,我们可以把圆分成“细长的短条”来求面积。好比图8,我们实验把圆分成细长的短条,也就是长方形的组合。虽说如此,但既然说到了符号,从现在开始我们就实验使用积分符号吧。

公式也会今后处开始泛起,不外内容和适才的解说是完全一致的,所以请轻松地读下去。和业界人士使用行业术语讲话一样,使用数学符号解说数学,相同的内容在表达上也会看起来很是优雅。在图9中,我们把圆裁切成很是窄的短条。

水平偏向为x轴。这时,圆的裁切偏向和x轴正好是垂直关系。在此基础之上,我们选取一条宽度为Δx的短条。Δ是希腊字母,读作“德尔塔”(Delta),多用作“差”(difference)的符号,表现很是小的数值。

现在,我们用公式来表现这条短条的面积。短条的面积=短条在x值对应的长度×Δx若问为什么要算出短条面积,这是因为我们要从这里开始盘算圆的面积。把这些细是非条的面积相加,就是圆的面积。

详细来说,把从左端到右端的短条全部相加就可以了。在这里,我们逐渐缩小短条的宽度,缩小到再也不能缩小的水平。这样一来,短条与其说是长方形,倒不如说看起来更像“一条线”。无数根“线”相加,其效果逐渐靠近“圆的面积”。

用积分符号来表现的话,可以写成以下形式。公式中谁人像把字母S纵向拉长的符号音同integral(积分)。积分原本就是“和”的意思,因此积分符号也是取自拉丁语中“和”的单词Summa的首字母S。这是一位叫作莱布尼茨的数学家(兼哲学家)提出的。

在此简朴增补一点儿德尔塔(Δ)和d的内容。Δ和d,这两个符号都源于“差”(difference)。

二者的差别之处在于,Δ是“近似值”,而英文小写字母d是“准确值”。“准确值”是什么意思呢?例如圆周率π,3.14是其近似值,无限循环的3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279…就是其“准确值”。近似值在某种情况下肯定是不正确的,而准确值在任何情况下都是正确的。

所以,我们可以这样明白dx:“将原本用短条宽度Δx盘算的数值,看作趋向于0的‘准确值’。”总结一下,德尔塔(Δ)和英文小写字母d划分在以下情况中使用。

德尔塔(Δ)——当存在宽度(宽度大于0)之时。英文小写字母d——当宽度趋向于0,盘算极限数值时。另外,虽然微积分中会泛起种种各样的公式、符号,不外初学者最开始不太明白这些工具也没有关系,对Δ和d也同样如此。

《 简朴微积分:学校未教过的超浅易入门技巧》作者:神永正博本书为微积分入门科普读物,书中以微积分的思考方法为焦点,以生活例子通俗解说了微积分的基本原理、公式推导以及实际应用意义,解答了微积分初学者遭遇的常见困惑。本书解说循序渐进、生动亲切,没有烦琐盘算、干涩理论,是一本只需轻松阅读便可以明白微积分原理的入门书。


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